Medidas de tendência central,dispersão, posição, associação e boxplot

Exercícios

1. A exposição a produtos microbianos, especialmente a endotoxina, pode ter um impacto sobre a vulnerabilidade a doenças alérgicas. O artigo "Dust sampling methods for endotoxin-An essential, but underestimated issue" considerou várias questões associadas com a determinação da concentração de endotoxinas. Os seguintes dados sobre a concentração de poeira (UE/mg) de uma amostra de domicílios urbanos e outra amostra de casas em áreas rurais foram gentilmente cedidas pelos autores do artigo citado.

U	R
6	4.0
5	14.0
11	11.0
33	9.0
4	9.0
5	8.0
80	4.0
18	20.0
35	5.0
17	8.9
23	21.0
NA	9.2
NA	3.0
NA	2.0
NA	0.3

1. Determine a média amostral para cada amostra e interprete-as.
Resposta

dados <- data.frame(U=c(6,5,11,33,4,5,80,18,35,17,23,NA,NA,NA,NA),
                    R=c(4,14,11,9,9,8,4,20,5,8.9,21,9.2,3,2,0.3))

medias <- colMeans(dados,na.rm=T)
medias

##        U        R 
## 21.54545  8.56000

Podemos perceber, que a concentração média de poeira nos centros urbanos é muito maior (quase 3 vezes) do que na zona rural.

2. Determine a mediana amostral para cada amostra. Por que a mediana para amostra urbana é tão diferente da média para a amostra?
Resposta

medianas <- apply(dados,2,median,na.rm=T)
medianas

##    U    R 
## 17.0  8.9

Vamos analisar o gráfico abaixo para responder a diferença entre a média e a mediana para a amostra urbana.

plot(x = dados$U,
     y = rep(0,15),
     xlim=c(0,100),
     ylim=c(0,0.2),
     axes = FALSE,
     xlab='Amostra urbana',
     ylab='')
axis(1)
points(medias[1],
       0,
       col = 'blue',
       pch=17,
       cex=2)
points(medianas[1],
       0,
       col = 'red',
       pch=17,
       cex=2)
legend('topleft',
       c('Mediana','Média'),
       lty = rep(1,2),
       lwd = 2,
       col = c('red','blue'))



Como vimos em aula, a média é influenciada por valores extremos e a mediana não. Logo, a diferença discrepante entre as duas medidas de tendência é devido ao valor 80 que puxa a média para cima.

3. Calcule a média aparada para cada amostra excluindo o valor menor e o maior. Quais são as porcentagens de corte correspondentes?
Resposta

A média aparada consiste em excluir extremos (1,2 ou mais valores). Neste problema específico, vamos excluir apenas o menor e o maior valor de cada amostra. Segue os cálculos:

U_ord <- with(dados,
              sort(U))
U_ord1 <- U_ord[-c(1,length(U_ord))]

R_ord <- with(dados,sort(R))
R_ord1 <- R_ord[-c(1,length(R_ord))] 

mediaU_aparada <- mean(U_ord1)
mediaU_aparada

## [1] 17

mediaR_aparada <- mean(R_ord1)
mediaR_aparada

## [1] 8.238462

A porcentagem de corte consiste em dividir a quantidade excluída (contabiliza apenas uma das extremidades) pelo total de observações. Neste caso, excluir um valor em cada extremidade. Logo, na amostra urbana a percentagem de corte foi de \(1/11*100 = 9,09\%\), e da amostra rural foi de \(1/15*100 = 6,67\%\).

2. O artigo "A thin-film oxygen uptake test for the evaluation of automotive crankcase lubricants" (Lubric. Engr., 1984:75-83) informou os seguintes dados sobre tempo de oxidação-indução (min) para diversos óleos comerciais:

87

103

130

160

180

195

132

145

211

105

145

153

152

138

87

99

93

119

129

1. Calcule a variância e o desvio-padrão amostrais
Resposta

dad2 <- c(87,103,130,160,180,195,132,145,211,105,145,153,152,138,87,99,93,119,129) 
variancia <- var(dad2)
variancia

## [1] 1264.766

desvio <- sd(dad2)
desvio

## [1] 35.56355

2. Se as observações fossem especificadas em horas, quais seriam os valores resultantes para a variância e para o desvio-padrão amostrais? Responda sem reescrever os valores.
Resposta

Esta questão é respondida utilizando uma das propriedades da variância que diz: ¿Seja k uma constante qualquer e \(x_i\) a i-ésima observação de uma amostra aleatória com variância \(S^2_{x}\). A multiplicação desta constante k aos dados, altera a variância de tal forma que a nova variância é equivalente a \(k^2 \cdot S^2_{x}\). Quando virem o assunto esperança matemática terão condições de demonstrar esta propriedade. Portanto, para calcular a variância em horas sem precisar reescrever os resultados teremos que lançar mão da propriedade citada. Logo, tem-se: \((1/60)^2 \cdot 1264,766 = 0,3513239\) horas\(^2\). Agora, basta tirar a raiz quadrada para obtermos o desvio-padrão. Logo, \(\sqrt{0,3513239} = 0,5927258\) horas.

3. Os seguintes dados sobre o teor de álcool destilado (%) para uma amostra de 35 vinhos do porto foram extraídos a partir do artigo "A method for the estimation of alcohol in fortified wines using hydrometer baumé and refractometer Brix" (Amer. J. Enol. Vitic., 2006: 486-490). Cada valor é a média de duas medições duplicadas.

16.35	17.48	18.85	17.15	16.2	19.07	17.75	19.90	19.58	18.68	17.73	18.82	22.75	19.03	23.78	19.45	23.25	19.37
19.08	19.20	19.62	18.00	19.2	19.60	20.05	19.33	17.85	21.22	19.17	19.50	19.48	15.30	20.00	22.25	19.97	NA

1. Calcule o valor e a dispersão dos quartis.
Resposta

dad3 <- c(16.35,19.08,17.48,19.20,18.85,19.62,17.15,18,16.20,19.2,19.07,19.6,17.75,20.05,19.9,19.33,19.58,17.85,18.68,21.22,17.73,19.17,18.82,19.5,22.75,19.48,19.03,15.3,23.78,20,19.45,22.25,23.25,19.97,19.37)
 
quartis <- quantile(dad3,
                    prob=c(0.25,0.5,0.75),
                    type=2)
quartis

##  25%  50%  75% 
## 18.0 19.2 19.9

dis_quartis <- diff(range(quartis))
dis_quartis

## [1] 1.9

2. Construa um boxplot. Há outliers ?
Resposta

boxplot(dad3)



Existem 2 outliers inferiores e 4 outliers superiores. Para visualizarmos, fazemos:

outliers <- boxplot.stats(dad3)
outliers$out

## [1] 16.20 22.75 15.30 23.78 22.25 23.25

4. Para estudar o efeito das águas residuais dos bueiros que deságuam em um lago, são utilizadas as medidas da concentração de nitrato na água. Para monitorar a variável, utilizava-se um antigo método manual agora, idealiza-se um novo método automático. Se evidenciarmos uma alta correlação positiva entre as medidas consideradas empregando os dois métodos, então faremos uso habitual do método automático. Os dados obtidos são os seguintes:

Manual=X	25	40	120	75	150	300	270	400	450	575
Automático=Y	30	80	150	80	200	350	240	320	470	583

Calcule a correlação dos dados e interprete os resultados.

Resposta

Vamos observar primeiro se há uma relação linear entre as variáveis.

dad4 <- rbind(c(25,40,120,75,150,300,270,400,450,575),
              c(30,80,150,80,200,350,240,320,470,583))
plot(dad4[1,],
     dad4[2,],
     xlab = 'Manual',
     ylab = 'Automático')




Agora calculando a correlação tem-se:

cor(dad4[1,],
    dad4[2,])

## [1] 0.9777899

Segundo o coeficiente de correlação, existe uma alta associação entre as medições manuais e automática. Logo, a medição automática pode ser empregada para estudar os efeitos das águas residuais.

5. Representemos por \(\bar{x}_n\) e \(s^2_{n}\) a média e a variância amostrais para a amostra \(x_1, \cdots, x_n\) e represente por \(\bar{x}_{n+1}\) e \(s^2_{n+1}\) essas quantidades quando uma observação adicional \(x_{n+1}\) é acrescentada à amostra.
1. Mostre como \(\bar{x}_{n+1}\) pode ser calculado a partir de \(\bar{x}\) e \(x_{n+1}\)
Resposta

ESSA RESPOSTA É CARA E VALE DOIS PONTOS EM QUALQUER AVALIAÇÃO SE DEMONSTRADA NO QUADRO NO HORÁRIO DA AULA!

2. Mostre que \(ns^2_{n+1} = (n-1)s^2_n + \frac{n}{n+1}(x_{n+1} - \bar{x}_n)^2\) de forma que \(s^2_{n+1}\) possa ser calculado a partir de \(x_{n+1}, \bar{x}_n\) e \(s^2_n\)

.

Resposta

IDEM A ALTERNATIVA a).