Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias contínuas

Exercícios

1. A taxa de glicose no sangue humano é uma variável aleatória com distribuição normal de média \(\mu = 100\) mg por 100 ml de sangue e desvio padrão \(\sigma=6\) mg por 100 ml de sangue. Calcule a probabilidade de um indivíduo apresentar taxa:
1. Superior a 110 mg por 100 ml de sangue.
2. Entre 90 e 100 mg por 100 ml de sangue.
2. De acordo com o Bureau of Labor Statistics, a remuneração média por semana dos trabalhadores norte-americanos do setor de produção foi de \(US\$ 441,84\). Suponha que os dados disponíveis indiquem que os salários dos trabalhadores do setor de produção estejam normalmente distribuídos, com um desvio padrão de \(US\$ 90\).
1. Qual é a probabilidade de um trabalhador ter ganho um salário entre \(US\$ 400\) e \(US\$ 500\)?
2. Quanto um trabalhador do setor de produção teve de ganhar para se colocar entre os 20% que receberam os maiores salários?
3. Em relação a um trabalhador do setor de produção escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de ele ter ganho menos de \(US\$ 250\) por semana?
3. Um fabricante de máquinas de lavar sabe, por longa experiência, que a duração de suas máquinas tem distribuição normal com média de 1000 dias e desvio padrão de 200 dias. Oferece uma garantia de 1 ano (365 dias). Produz mensalmente 2000 máquinas. Quantas espera trocar pelo uso da garantia dada, mensalmente?
4. O diâmetro X de um cabo de vídeo é uma v.a. com distribuição normal, com média de 21 mm e desvio padrão de 1,5 mm. A probabilidade de um cabo sair com diâmetro fora das especificações é \(p_1=0,691759-P(X>23)\). Considerando \(p=p_{1}/800\) a probabilidade de um cabo produzido ser rejeitado, determinar a probabilidade de que, na produção de 8000 cabos, no máximo 3 sejam rejeitados.
Resposta

Vamos primeiro calcular quanto vale \(p_1\). Para isso, precisamos determinar \(P(X>23)\). Se \(X\) tem distribuição normal, então podemos realizar o cálculo integrando a densidade da normal, transformando em normal padrão ou utilizando qualquer programa para isso. Em aula, foi passado dois. Portanto, utilizando o programa R temos que \(P(X > 23) = pnorm(23,21,1.5,lower.tail=FALSE) = 0,09121122\). Logo, \(p_1 = 0,691759 - 0,09121122 = 0,6005478\). Então, \(p = p1/800 = 0,6005478/800 = 0,000751\). Perceba que a probabilidade \(p\) agora se refere a uma variável aleatória do tipo bernoulli, em que só há duas possibilidades, o cabo aceito ou rejeitado. O problema pede para avaliar em 8000 cabos, a probabilidade de no máximo 3 sejam rejeitados. Neste caso específico, como temos \(n\) realizações da variável aleatória, então passamos a uma variável do tipo binomial com parâmetros \(n=8000\) e \(p = 0,000751\). Portanto, utilizando a função de probabilidade binomial tem-se:

\[ P(X \le 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \\ = \binom{8000}{0}\cdot 0,000751^0 \cdot 0,9992493^{8000} + \cdots + \binom{8000}{3}\cdot 0,000751^3\cdot 0,9992493^{7997} \\ = 0,1504 \]

5. Demonstre que a média e a variância da distribuição exponencial é \(1/\lambda\) e \(1/\lambda^2\) respectivamente.
6. Encontre a função de distribuição da distribuição exponencial.
7. Os dados coletados no Toronto Pearson International Airport sugerem que uma distribuição exponencial com o valor médio de 2,725 horas é um bom modelo para a duração da chuva.
1. Qual é a probabilidade de a duração de um determinado período de chuva neste local ser de pelo menos 2 horas?
2. No máximo 3 horas?
3. Entre 2 e 3 horas?
4. Qual é a probabilidade de a distância exceder a média por mais de 2 desvios padrão? Qual é a probabilidade de que ela esteja a mais de 1 desvio padrão em relação ao valor da média?
8. O documento "Microwave observations of daily antarctic sea-ice edge expansion and contribution rates" declara que "A distribuição do avanço/recuo diário da faixa gelo-mar de cada sensor é semelhante e aproximadamente o exponencial duplo". A distribuição exponencial dupla que foi proposta possui a função de densidade \(f(x)=0,5\lambda e^{-\lambda \lvert x \lvert}\) para \(-\infty < x < \infty\). O desvio padrão é dado como 40,9 km.
1. Qual é o valor do parâmetro \(\lambda\)?
2. Qual é a probabilidade de a faixa gelo-mar observada estar dentro de 1 desvio padrão em relação em relação ao valor da média?