Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias contínuas

Exercícios

1. A taxa de glicose no sangue humano é uma variável aleatória com distribuição normal de média \(\mu = 100\) mg por 100 ml de sangue e desvio padrão \(\sigma=6\) mg por 100 ml de sangue. Calcule a probabilidade de um indivíduo apresentar taxa:
1. Superior a 110 mg por 100 ml de sangue.
2. Entre 90 e 100 mg por 100 ml de sangue.
Resposta

Seja \(X \sim N(100, 6^2)\) a taxa de glicose. Padronizando, \(Z = (X - 100)/6\).

a) \[ P(X > 110) = P\left(Z > \frac{110 - 100}{6}\right) = P(Z > 1,67) = 0,0478 \] No R: pnorm(110, 100, 6, lower.tail = FALSE).

b) \[ P(90 < X < 100) = P\left(\frac{90-100}{6} < Z < \frac{100-100}{6}\right) = P(-1,67 < Z < 0) = 0,5 - 0,0478 = 0,4522 \] No R: pnorm(100, 100, 6) - pnorm(90, 100, 6).

2. De acordo com o Bureau of Labor Statistics, a remuneração média por semana dos trabalhadores norte-americanos do setor de produção foi de \(US\$ 441,84\). Suponha que os dados disponíveis indiquem que os salários dos trabalhadores do setor de produção estejam normalmente distribuídos, com um desvio padrão de \(US\$ 90\).
1. Qual é a probabilidade de um trabalhador ter ganho um salário entre \(US\$ 400\) e \(US\$ 500\)?
2. Quanto um trabalhador do setor de produção teve de ganhar para se colocar entre os 20% que receberam os maiores salários?
3. Em relação a um trabalhador do setor de produção escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de ele ter ganho menos de \(US\$ 250\) por semana?
Resposta

Seja \(X \sim N(441,84;\ 90^2)\) o salário semanal.

a) \[ P(400 < X < 500) = P\left(\frac{400-441,84}{90} < Z < \frac{500-441,84}{90}\right) = P(-0,46 < Z < 0,65) = 0,7409 - 0,3210 = 0,4199 \] No R: pnorm(500, 441.84, 90) - pnorm(400, 441.84, 90).

b) Queremos o valor \(x\) tal que \(P(X > x) = 0,20\), ou seja, o percentil 80. Como \(P(Z \le 0,8416) = 0,80\), então \[ x = \mu + z\sigma = 441,84 + 0,8416 \cdot 90 = US\$\ 517,59 \] No R: qnorm(0.80, 441.84, 90).

c) \[ P(X < 250) = P\left(Z < \frac{250-441,84}{90}\right) = P(Z < -2,13) = 0,0165 \] No R: pnorm(250, 441.84, 90).

3. Um fabricante de máquinas de lavar sabe, por longa experiência, que a duração de suas máquinas tem distribuição normal com média de 1000 dias e desvio padrão de 200 dias. Oferece uma garantia de 1 ano (365 dias). Produz mensalmente 2000 máquinas. Quantas espera trocar pelo uso da garantia dada, mensalmente?
Resposta

Seja \(X \sim N(1000, 200^2)\) a duração (em dias). Uma máquina é trocada se durar menos que o período de garantia:

\[ P(X < 365) = P\left(Z < \frac{365-1000}{200}\right) = P(Z < -3,175) = 0,00075 \]

No R: pnorm(365, 1000, 200). O número de máquinas trocadas em 2000 é uma variável binomial com \(n = 2000\) e \(p = 0,00075\), cujo valor esperado é

\[ E(Y) = np = 2000 \cdot 0,00075 \approx 1,5 \]

Ou seja, espera-se trocar, em média, cerca de 1 a 2 máquinas por mês.

4. O diâmetro X de um cabo de vídeo é uma v.a. com distribuição normal, com média de 21 mm e desvio padrão de 1,5 mm. A probabilidade de um cabo sair com diâmetro fora das especificações é \(p_1=0,691759-P(X>23)\). Considerando \(p=p_{1}/800\) a probabilidade de um cabo produzido ser rejeitado, determinar a probabilidade de que, na produção de 8000 cabos, no máximo 3 sejam rejeitados.
Resposta

Vamos primeiro calcular quanto vale \(p_1\). Para isso, precisamos determinar \(P(X>23)\). Se \(X\) tem distribuição normal, então podemos realizar o cálculo integrando a densidade da normal, transformando em normal padrão ou utilizando qualquer programa para isso. Em aula, foi passado dois. Portanto, utilizando o programa R temos que \(P(X > 23) = pnorm(23,21,1.5,lower.tail=FALSE) = 0,09121122\). Logo, \(p_1 = 0,691759 - 0,09121122 = 0,6005478\). Então, \(p = p1/800 = 0,6005478/800 = 0,000751\). Perceba que a probabilidade \(p\) agora se refere a uma variável aleatória do tipo bernoulli, em que só há duas possibilidades, o cabo aceito ou rejeitado. O problema pede para avaliar em 8000 cabos, a probabilidade de no máximo 3 sejam rejeitados. Neste caso específico, como temos \(n\) realizações da variável aleatória, então passamos a uma variável do tipo binomial com parâmetros \(n=8000\) e \(p = 0,000751\). Portanto, utilizando a função de probabilidade binomial tem-se:

\[ P(X \le 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \\ = \binom{8000}{0}\cdot 0,000751^0 \cdot 0,9992493^{8000} + \cdots + \binom{8000}{3}\cdot 0,000751^3\cdot 0,9992493^{7997} \\ = 0,1504 \]

5. Demonstre que a média e a variância da distribuição exponencial é \(1/\lambda\) e \(1/\lambda^2\) respectivamente.
Resposta

A densidade da exponencial é \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\), para \(x \ge 0\).

Média. Integrando por partes com \(u = x\) e \(dv = \lambda e^{-\lambda x}dx\) (logo \(du = dx\) e \(v = -e^{-\lambda x}\)):

\[ E(X) = \int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}dx = \left[-xe^{-\lambda x}\right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x}dx = 0 + \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_0^\infty = \frac{1}{\lambda} \]

Variância. Calculamos \(E(X^2)\), novamente por partes, com \(u = x^2\) e \(dv = \lambda e^{-\lambda x}dx\):

\[ E(X^2) = \int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}dx = \left[-x^2e^{-\lambda x}\right]_0^\infty + \int_0^\infty 2xe^{-\lambda x}dx = 0 + \frac{2}{\lambda}\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}dx = \frac{2}{\lambda}\cdot\frac{1}{\lambda} = \frac{2}{\lambda^2} \]

Portanto,

\[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \]

6. Encontre a função de distribuição da distribuição exponencial.
Resposta

Para \(x < 0\), \(F(x) = 0\), pois a densidade é nula. Para \(x \ge 0\):

\[ F(x) = P(X \le x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}dt = \left[-e^{-\lambda t}\right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x} \]

Logo,

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1 - e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \end{cases} \]

7. Os dados coletados no Toronto Pearson International Airport sugerem que uma distribuição exponencial com o valor médio de 2,725 horas é um bom modelo para a duração da chuva.
1. Qual é a probabilidade de a duração de um determinado período de chuva neste local ser de pelo menos 2 horas?
2. No máximo 3 horas?
3. Entre 2 e 3 horas?
4. Qual é a probabilidade de a distância exceder a média por mais de 2 desvios padrão? Qual é a probabilidade de que ela esteja a mais de 1 desvio padrão em relação ao valor da média?
Resposta

Como \(E(X) = 1/\lambda = 2,725\), temos \(\lambda = 1/2,725 = 0,367\). Usando a função de distribuição \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\):

a) \[ P(X \ge 2) = 1 - F(2) = e^{-2/2,725} = e^{-0,734} = 0,4800 \] No R: pexp(2, 1/2.725, lower.tail = FALSE).

b) \[ P(X \le 3) = F(3) = 1 - e^{-3/2,725} = 1 - 0,3326 = 0,6674 \] No R: pexp(3, 1/2.725).

c) \[ P(2 \le X \le 3) = F(3) - F(2) = 0,6674 - 0,5200 = 0,1474 \]

d) Na exponencial, \(\mu = \sigma = 1/\lambda = 2,725\). Assim, exceder a média por mais de 2 desvios padrão significa \(X > \mu + 2\sigma = 3\mu = 8,175\) horas:

\[ P(X > 3\mu) = e^{-\lambda \cdot 3/\lambda} = e^{-3} = 0,0498 \]

Estar a mais de 1 desvio padrão da média significa \(X < \mu - \sigma = 0\) ou \(X > \mu + \sigma = 2\mu\). Como \(P(X < 0) = 0\):

\[ P(|X - \mu| > \sigma) = P(X > 2\mu) = e^{-2} = 0,1353 \]

Note que essas probabilidades não dependem de \(\lambda\).

8. O documento "Microwave observations of daily antarctic sea-ice edge expansion and contribution rates" declara que "A distribuição do avanço/recuo diário da faixa gelo-mar de cada sensor é semelhante e aproximadamente o exponencial duplo". A distribuição exponencial dupla que foi proposta possui a função de densidade \(f(x)=0,5\lambda e^{-\lambda \lvert x \lvert}\) para \(-\infty < x < \infty\). O desvio padrão é dado como 40,9 km.
1. Qual é o valor do parâmetro \(\lambda\)?
2. Qual é a probabilidade de a faixa gelo-mar observada estar dentro de 1 desvio padrão em relação em relação ao valor da média?
Resposta

a) A densidade é simétrica em torno de zero, logo \(E(X) = 0\) e \(Var(X) = E(X^2)\). Pela simetria e usando o resultado do exercício 5 (\(\int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}dx = 2/\lambda^2\)):

\[ Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot 0,5\lambda e^{-\lambda|x|}dx = 2 \cdot 0,5 \int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}dx = \frac{2}{\lambda^2} \]

Assim, \(\sigma = \sqrt{2}/\lambda\). Como \(\sigma = 40,9\):

\[ \lambda = \frac{\sqrt{2}}{40,9} = 0,0346 \text{ km}^{-1} \]

b) Como \(\mu = 0\), queremos \(P(-\sigma \le X \le \sigma)\). Pela simetria:

\[ P(|X| \le \sigma) = 2\int_0^\sigma 0,5\lambda e^{-\lambda x}dx = 1 - e^{-\lambda\sigma} = 1 - e^{-\sqrt{2}} = 1 - 0,2431 = 0,7569 \]

Novamente, o resultado não depende de \(\lambda\).