Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias discretas

Exercícios

1. Para efetuar a regulação hormonal de uma linha metabólica, injeta-se em ratos albinos um fármaco que inibe a síntese de proteínas do organismo. Geralmente, quatro de cada vinte ratos morrem por causa do fármaco antes que o experimento tenha sido concluído. Se tratarmos dez animais com o fármaco, qual a probabilidade de que ao menos oito cheguem vivos ao final do experimento?
Resposta

Seja \(X\) o número de ratos que chegam vivos ao final. A probabilidade de morte é \(4/20 = 0{,}2\), logo cada rato sobrevive com \(p = 0{,}8\) e \(X \sim \text{Bin}(10;\ 0{,}8)\).

\[P(X \geq 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)\] \[= \binom{10}{8}0{,}8^8\,0{,}2^2 + \binom{10}{9}0{,}8^9\,0{,}2 + 0{,}8^{10} = 0{,}3020 + 0{,}2684 + 0{,}1074 = 0{,}6778\]

No R: pbinom(7, 10, 0.8, lower.tail = FALSE).

2. Suponha que determinado medicamento usado para o diagnóstico precoce da gravidez é capaz de confirmar casos positivos em apenas 90% das gestantes muito jovens. Isto porque, em 10% das gestantes muito jovens, ocorre uma escamação do epitélio do útero, que é confundida com a menstruação. Nestas condições, qual é a probabilidade de duas, de três gestantes muito jovens que fizeram uso desse medicamento, não terem confirmado precocemente a gravidez?
Resposta

Seja \(X\) o número de gestantes, entre três, que não têm a gravidez confirmada precocemente. Então \(X \sim \text{Bin}(3;\ 0{,}1)\).

\[P(X = 2) = \binom{3}{2}0{,}1^2\,0{,}9 = 3 \times 0{,}01 \times 0{,}9 = 0{,}027\]

No R: dbinom(2, 3, 0.1).

3. Um sistema k de n funciona se, e somente se, pelo menos k dos n componentes individuais do sistema funcionarem. Se os componentes individuais funcionam independentemente um do outro, cada um com probabilidade 0,9 qual é a probabilidade de um sistema 3 de 5 funcionar?
Resposta

Seja \(X\) o número de componentes que funcionam, \(X \sim \text{Bin}(5;\ 0{,}9)\). O sistema funciona se \(X \geq 3\).

\[P(X \geq 3) = \binom{5}{3}0{,}9^3\,0{,}1^2 + \binom{5}{4}0{,}9^4\,0{,}1 + 0{,}9^5 = 0{,}0729 + 0{,}3281 + 0{,}5905 = 0{,}9914\]

No R: pbinom(2, 5, 0.9, lower.tail = FALSE).

4. De acordo com uma pesquisa de opinião realizada pela Business Week/Hall Poll entre 1.035 adultos, 40% dos entrevistados concordam fortemente com a proposição de que os negócios têm muita influência sobre o estilo de vida dos norte-americanos. Considere essa porcentagem como representativa da população note-americana. Em uma amostra de 20 indivíduos, tomada em determinado instante da população norte-americana, qual é a probabilidade de pelo menos cinco indivíduos acharem que os negócios têm muito mais influência sobre o estilo de vida norte-americano?
Resposta

Seja \(X\) o número de indivíduos, entre 20, que concordam com a proposição: \(X \sim \text{Bin}(20;\ 0{,}4)\).

\[P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4) = 1 - \sum_{x=0}^{4}\binom{20}{x}0{,}4^x\,0{,}6^{20-x} = 1 - 0{,}0510 = 0{,}9490\]

No R: pbinom(4, 20, 0.4, lower.tail = FALSE).

5. O National Safety Council registrou que as mortes relacionadas ao uso de air-bags caíram para 18 no ano 2000.
1. Calcule o número esperado de mortes relacionadas ao uso de air-bags por mês.
2. Calcule a probabilidade de não ocorrer nenhuma morte relacionada ao uso de air-bags em um mês.
3. Calcule a probabilidade de ocorrer duas ou mais mortes relacionadas ao uso de air-bags em um mês.
Resposta

Seja \(X\) o número de mortes por mês. Supondo distribuição de Poisson:

1. \(\lambda = E(X) = 18/12 = 1{,}5\) morte por mês.
2. \(P(X = 0) = e^{-1{,}5} = 0{,}2231\).
3. \(P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - e^{-1{,}5}(1 + 1{,}5) = 1 - 0{,}5578 = 0{,}4422\).

No R: dpois(0, 1.5) e ppois(1, 1.5, lower.tail = FALSE).

6. Em uma certa população, obervou-se um número médio anual de 12 mortes por câncer de pulmão. Se o número de mortes causado pela enfermidade segue uma distribuição de Poisson, qual a probabilidade de que, durante o ano corrente:
1. haja, exatamente, dez mortes por câncer de pulmão?
2. morram 15 ou mais pessoas por cuasa da enfermidade?
3. morram dez ou menos pessoas por causa da enfermidade?
Resposta

\(X \sim \text{Poisson}(\lambda = 12)\), em que \(X\) é o número de mortes no ano.

1. \(P(X = 10) = \dfrac{e^{-12}\,12^{10}}{10!} = 0{,}1048\).
2. \(P(X \geq 15) = 1 - P(X \leq 14) = 1 - 0{,}7720 = 0{,}2280\).
3. \(P(X \leq 10) = \sum_{x=0}^{10}\dfrac{e^{-12}\,12^{x}}{x!} = 0{,}3472\).

No R: dpois(10, 12), ppois(14, 12, lower.tail = FALSE) e ppois(10, 12).

7. A probabilidade de morte resultante do uso de pílulas anticoncepcionais é de 3/100.000. De 1.000.000 mulheres que utilizam esse método de controle de natalidade:
1. quantas mortes devidas a essa causa são esperadas?
2. qual a probabilidade de que haja, no máximo, 25 dessas mortes?
3. qual a probabilidade de que o número de mortes devidas a essa causa esteja entre 25 e 35, inclusive?
Resposta

\(X \sim \text{Bin}(n = 1.000.000;\ p = 3/100.000)\). Como \(n\) é grande e \(p\) é pequeno, usamos a aproximação de Poisson com \(\lambda = np\).

1. \(E(X) = np = 1.000.000 \times 0{,}00003 = 30\) mortes.
2. \(P(X \leq 25) = \sum_{x=0}^{25}\dfrac{e^{-30}\,30^{x}}{x!} = 0{,}2084\).
3. \(P(25 \leq X \leq 35) = P(X \leq 35) - P(X \leq 24) = 0{,}6854\).

No R: ppois(25, 30) e ppois(35, 30) - ppois(24, 30). Pela binomial exata (pbinom) os resultados coincidem até a 4ª casa decimal.