Variáveis aleatórias

Exercícios

1. Três estudantes têm entrevistas programadas no Brookwood Institute com o objetivo de obter empregos de verão. Em cada caso, a entrevista resultará na oferta de um cargo ou em uma recusa. Seja X a variável aleatória que corresponde ao número de ofertas feitas. Relacione cada resultado no espaço amostral juntamente com o valor de X associado.
2. Para realizar certo tipo de análise sanguínea os técnicos de laboratório precisam levar a efeito dois procedimentos. O primeiro procedimento necessita de uma ou duas etapas distintas, e o segundo procedimento requer uma, duas ou três etapas.
1. Liste os resultados experimentais associados à realização da análise sanguínea.
2. Se a variável aleatória de interesse for o número total de etapas necessárias para a análise completa (ambos os procedimentos), mostre qual valor a variável aleatória assumirá para cada um dos resultados experimentais.
3. Uma biblioteca assina duas revistas semanais diferentes que supostamente chegam na correspondência de quarta-feira. Na verdade, elas podem chegar na quarta, quinta, sexta ou sábado. Suponha que a chegada das duas revistas seja independente uma da outra e que, para cada uma, P(quarta) = 0,3, P(quinta) = 0,4, P(sexta) = 0,2 e P(sábado) = 0,1. Seja Y = número de dias, depois da quarta-feira, que leva para ambas as revistas chegarem. Calcule a distribuição de probabilidades de Y.
4. Considere um baralho com sete cartas, marcadas \(1,2,\cdots,7.\) Três delas são selecionadas aleatoriamente. Defina uma v.a. W como W=a soma dos números resultantes e calcule a f.p. de W.(Dica: considere os resultados como desordenados, de modo que (1,3,7) e (3,1,7) não sejam considerados diferentes).
5. Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de K podem ser consideradas fdp.
1. \[ f(x) = \begin{cases} Kx^2,& se~0 \le~ x~ \le 2;\\ 0,&\textrm{caso contrário}\\ \end{cases} \]
2. \[ f(x) = \begin{cases} Ke^{-2x},& para~x \ge 0;\\ 0,&\textrm{caso contrário}\\ \end{cases} \]
6. O gráfico da fdp de uma variável aleatória contínua X é dado a seguir:


Calcule:

1. \(P(X \ge 1)\)
2. \(P(X \le 1)\)
7. Um jogador A paga R$ 5,00 a B e lança um dado. Se sair face 3, ganha R$ 20,00. Se sair faces 4, 5 ou 6, perde. Se sair faces 1 ou 2, tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6, ganha R$ 50,00. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja X o lucro líquido do jogador A nesse jogo. Determinar:
1. Distribuição de probabilidade de x
Resposta

Vamos visualizar primeiramente os resultados possíveis em um diagrama.

Agora podemos elaborar a distribuição de probabilidade de X.

X	P(X)
-5	3/6 + (2/6*25/36) = 79/108
0	2/6 * 10/36 = 10/108
15	1/6 = 18/108
45	2/6 * 1/36 = 1/108

2. E(X)
Resposta

O valor esperado de X é:

\[ E(X) = (-5 \cdot 79/108) + (0 \cdot 10/108) + (15 \cdot 18/108) + (45 \cdot 1/108) = -0,741 \]

3. VAR(X)
Resposta

Para calcularmos a variância vamos primeiro calcular \(E(X^2)\).

\[ E(X^2) = ((-5)^2 \cdot 79/108) + (0^2 \cdot 10/108) + (15^2 \cdot 18/108) + (45^2 \cdot 1/108) = 74,537 \]

Logo,

\[ VAR(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 74,537 - (-0,741)^2 = 73,988 \]

8. A função de probabilidade da variável aleatória X é: \(P(X)=1/5\), para \(X=1,2,3,4,5\). Calcular \(E(X)\) e \(E(X^2)\), e usando esses resultados, calcular: \(E(X+3)^2\) e \(VAR(3X-2)\).
9. Um ecologista deseja marcar uma região de amostragem circular com raio de 10m. Entretanto, o raio da região resultante é, na verdade, uma variável aleatória R com f.d.p.

\[ f(r) = \begin{cases} \frac{3}{4}[1-(10-r^2)], & 9 \le r \le 11 \\ 0, & \textrm{caso contrário} \\ \end{cases} \]

Qual é a área esperada da região circular resultante?