Intervalos de confiança para média

Exercícios

1. A Nielsen Media Research relatou que o tempo médio que as famílias passam assistindo à televisão, no período das 8h às 11h da noite, é de 8,5 horas por semana. Dado um tamanho de amostra de 300 famílias e um desvio padrão \(\sigma\) da população igual a 3,5 horas, qual é a estimação por intervalo de confiança de 95% da média de tempo que as pessoas assistem à televisão durante o período das 8h às 11h da noite?
Resposta

Precisamos calcular a margem de erro. Então, \[ ME = z_{0,025}\cdot \frac{3,5}{\sqrt{300}} = 0,396 \] Logo, somando e subtraindo a estimativa da margem de erro tem-se:\(IC(95\%,\mu) = (8,104;8,896)\).

Utilizando a função disponível no site da disciplina http://nbcgib.uesc.br/lec/download/material_didatico/r_files/est_infer/conf.mean.R tem-se:

conf.mean(x=8.5,sigma=3.5,n=300)

## $est_pontual
## [1] 8.5
## 
## $erro_pad
## [1] 0.2020726
## 
## $quantil
## [1] -1.959964  1.959964
## 
## $intervalo
## [1] 8.103945 8.896055

2. Uma pesquisa realizada pela American Automobile Association mostrou que uma família de quatro pessoas gasta em média US$ 215,6 por dia enquanto está em férias. Suponha que uma amostra de 64 famílias de quatro pessaos que tenham ido passar as férias em Niagara Falls resultasse em uma média amostral de US$ 252,45 por dia e um desvio padrão amostral de US$ 74,50.
1. Desenvolva uma estimação por intervalo de confiança de 95% da quantia média gasta por dia por uma família de quatro pessoas que visita Niagara Falls.
Resposta

Como o raciocínio é o mesmo do exercício anterior, vamos calcular diretamente no R. Atente-se apenas para o fato que devemos utilizar a distribuição t de student, pois só temos o desvio padrão amostral.

conf.mean(x=252.45,S=74.50,n=64)

## $est_pontual
## [1] 252.45
## 
## $erro_pad
## [1] 9.3125
## 
## $quantil
## [1] -1.998341  1.998341
## 
## $intervalo
## [1] 233.8405 271.0595

2. Com base no intervalo de confiança do item (a), parece que a quantia média populacional gasta por dia pelas famílias que visitam Niagara Falls difere da média registrada pela American Automobile Associationi? Explique.
Resposta

Não só parece como difere com 95% de confiança,pois o valor encontrado pelo American A.A. não está dentro do intervalo de confiança do Niagara. Diversos fatores poderiam explicar tais diferenças. Como não nos foi detalhado como foi feito a pesquisa do American Automobile Association e do Niagara Falls, supor alguma coisa seria mera especulação.

3. Levanta-se uma amostra de 10 observações de uma população normal com variância 160, obtendo-se \(\sum_{i=1}^{10}x_i = 2300\). Determinar o IC para a média \(\mu\) aos níveis de 20% e 10% de significância.
Resposta

A média amostral é \(\bar{x}=2300/10 = 230\). Diante disto basta calcularmos o IC considerando a variância conhecida. Para 20% tem-se:

conf.mean(x=230,sigma=sqrt(160), n=10, conf.level=0.80)

## $est_pontual
## [1] 230
## 
## $erro_pad
## [1] 4
## 
## $quantil
## [1] -1.281552  1.281552
## 
## $intervalo
## [1] 224.8738 235.1262

Para 10% tem-se:

conf.mean(x=230,sigma=sqrt(160), n=10, conf.level=0.90) 

## $est_pontual
## [1] 230
## 
## $erro_pad
## [1] 4
## 
## $quantil
## [1] -1.644854  1.644854
## 
## $intervalo
## [1] 223.4206 236.5794

4. Cada um dos intervalos a seguir é um intervalo de confiança de \(\mu=\)média real (isso é, média da população) da frequência de ressonância (Hz) de todas as raquetes de tênis de determinado tipo:\((114,4; 115,6)\) e \((114,1; 115,9)\)
1. Qual é o valor da frequência de ressonância da média amostral?
Resposta

Perceba que o limite inferior (LI) de um intervalo de confiança é \(\bar{x}-ME\)(Margem de Erro) e o limite superior (LS) é \(\bar{x}+ME\). Então, para encontrarmos a média amostral, basta montarmos um sistema de equações e utilizar qualquer um dos intervalos fornecidos para tal cálculo. Vamos utlizar o primeiro intervalo de confiança. Logo,

\[ 114,4 = \bar{x} - ME \\ 115,6 = \bar{x} + ME \]

Ao somar as duas equações, a variável ME será anulada. Logo, temos:

\[ 230 = 2\cdot \bar{x} \]

Portanto a média amostral é \(\bar{x} = 115\).

2. Ambos os intervalos foram calculados a partir dos mesmos dados amostrais. O nível de confiança de um desses intervalos é 90% e do outro é 99%. Qual dos intervalos possui o nível de confiança de 90% e por quê?
Resposta

É o intervalo mais curto, ou seja, (114,4;115,6). Basta desenharmos a curva normal para observar tal constatação.

curve(dnorm(x,mean=115,sd=0.5129),113,117)
polygon(x = c(114.1,
              seq(114.1,
                  115.9,
                  length = 1e3),
              115.9),
        y = c(0,
              dnorm(seq(114.1,
                        115.9,
                        length = 1e3),
                    115,
                    0.5129),
              0),
        col='red')
polygon(x = c(114.4,
              seq(114.4,
                  115.6,
                  length = 1e3),
              115.6),
        y = c(0,
              dnorm(seq(114.4,
                        115.6,
                        length = 1e3),
                    115,
                    0.5129),
              0),
        col='bisque')
arrows(116,0.55,115,0.55,angle=20,col='blue') 
text(116.2,0.55,'90%',col='blue')
arrows(116.5,0.2,115.7,0.2,angle=20,col='green') 
text(116.7,0.2,'99%',col='green')
text(114.1,-0.01,'114.1',col='green',cex=0.8,xpd=T) 
text(115.9,-0.01,'115.9',col='green',cex=0.8,xpd=T)  
text(114.4,-0.01,'114.4',col='blue',cex=0.8,xpd=T) 
text(115.6,-0.01,'115.6',col='blue',cex=0.8,xpd=T)  



5. Considere a distribuição de uma população normal com o valor de \(\sigma\) conhecido.
1. Qual é o nível de confiança para o intervalo \(\bar{X} \pm 2,81\sigma/\sqrt{n}\)?
Resposta

Perceba que o valor \(2,81\) é o quantil da normal padrão, já que, a variância é conhecida. Então, utilizando o R tem-se:

IC = round(1 - pnorm(2.81,lower.tail=F)*2,4)
paste(IC*100,'%')

## [1] "99.5 %"

2. Qual é o nível de confiança para o intervalo \(\bar{X} \pm 1,44\sigma/\sqrt{n}\)?
Resposta

Perceba que o valor \(1,44\) é o quantil da normal padrão, já que, a variância é conhecida. Então, utilizando o R tem-se:

IC = round(1 - pnorm(1.44,lower.tail=F)*2,4)
paste(IC*100,'%')

## [1] "85.01 %"

3. Que valor de \(z_{\alpha/2}\) na fórmula do IC resulta em um nível de confiança de 99,7%?
Resposta

Basta utilizarmos a função qnorm do R.

abs(qnorm((1-0.997)/2))

## [1] 2.967738

4. Responda à pergunta proposta no item (c) para um nível de confiança de 75%.
Resposta

Utilizando o mesmo raciocínio da letra c) tem-se:

abs(qnorm((1-0.75)/2))

## [1] 1.150349

6. O artigo "Measuring and understanding the aging of kraft insulating paper in power transformers" contém as seguintes observações sobre o grau de polimerização para espécimes de papel para os quais a concentração dos tempos de viscosidade caiu em determinado intervalo médio:

418

434

454

421

437

463

421

439

465

422

446

425

447

427

448

431

453

1. Construa um boxplot dos dados e comente quaisquer características interessantes.
Resposta

Utilizando o software R tem-se:

boxplot(poli)

Percebe-se que os dados não tem outliers. Ainda, possui uma leve assimetria à direita.

2. É plausível que as observações da amostra fornecidas tenham sido selecionadas de uma distribuição normal?
Resposta

Existem técnicas inferencias como o teste de shapiro wilk ou de kolmogorov para testarmos a hipótese dos dados serem provenientes de uma distribuição normal. Ainda, podemos utilizar o gráfico qqplot para julgarmos empiricamente a aderência para distribuição normal. No entanto, tais técnicas não foram ensinadas. Portanto, podemos recorrer ao histograma para responder tal pergunta, mesmo que, tal gráfico seja muito limitado para amostras pequenas.

library(fdth)
tab=fdt(poli)
plot(tab,type='d')

Olhando para o histograma, não parece plausível que os dados tenha sido selecionado de uma distribuição normal.

3. Calcule o intervalo de confiança de 95% bilateral para o grau médio real de polimerização. O intervalo sugere que 440 seja um valor plausível para o grau médio real de polimerização? E quanto a 450?
Resposta

Para o intervalo de confiança, não interessa a distribuição dos dados, pois o teorema do limite central nos garante que a distribuição amostral da média é normal. Como a variância é desconhecida, iremos utilizar a distribuição t de student.

conf.mean(x=poli)

## $est_pontual
## [1] 438.2941
## 
## $erro_pad
## [1] 3.672998
## 
## $quantil
## [1] -2.119905  2.119905
## 
## $intervalo
## [1] 430.5077 446.0805

O valor 440 é um valor plausível, pois está dentro do intervalo de confiança. Já o valor de 450 não é um valor plausível, pois está fora do intervalo de confiança.

7. Uma incubadora de ovos de peru precisa ser mantida a 37,5 °C durante toda a "incubação", ou seja, por 26 dias, para uma boa incubabilidade. Uma nova incubadora deve ser considerada como substituta de uma das incubadoras no incubatório; um teste de 26 dias com leituras diárias realizadas na mesma hora do dia produziu um valor médio de 37,3 °C com um desvio padrão de 0,7 °C. Supondo que a distribuição da temperatura da incubadora seja aproximadamente Normal, calcule um intervalo de confiança aproximado de 95% para a temperatura média real da incubadora. Esta incubadora deve ser usado no incubatório no futuro?
Resposta

Vamos utilizar direto a função conf.mean.

conf.mean(x=37.3,S=0.7,n=26)

## $est_pontual
## [1] 37.3
## 
## $erro_pad
## [1] 0.1372813
## 
## $quantil
## [1] -2.059539  2.059539
## 
## $intervalo
## [1] 37.01726 37.58274

De acordo com a análise, podemos afirmar com 95% de confiança, que a verdadeira temperatura média da nova incubadora varia de 37,02 a 37,58. Segundo o site https://pt.wikihow.com/Chocar-Ovos-de-Peru-em-uma-Encubadora a temperatura do deve permanecer entre 29 e 37,5°C. Logo, como o limite superior do intervalo calculado ultrapassa o limite desejado, então a incubadora não deve ser utilizada no futuro. Obviamente que um profissional da área de avicultura deve ser mais apto para fazer tal julgamento.