Regressão Linear Simples

Exercícios

1. A renda familiar típica e o preço típico das moradias referentes a uma amostra de 18 cidades estão na tabela abaixo. Os dados estão expressos em milhares de dólares e disponível no seguinte link: http://nbcgib.uesc.br/lec/download/R/dados/hum_anderson_ex20_12.txt
1. Com esses dados, desenvolva uma equação de regressão estimada.
Resposta

Vamos aos cálculos.

dad1 = read.table('http://nbcgib.uesc.br/lec/download/R/dados/hum_anderson_ex20_12.txt',h=T)
summary(dad1)

##         cidade      renda          precocasas   
##  Akron     :1   Min.   : 62.80   Min.   : 92.8  
##  Atlanta   :1   1st Qu.: 74.10   1st Qu.:125.9  
##  Birmingham:1   Median : 78.80   Median :135.8  
##  Bismarck  :1   Mean   : 78.72   Mean   :136.7  
##  Clevend   :1   3rd Qu.: 82.60   3rd Qu.:145.3  
##  Columbia  :1   Max.   :100.00   Max.   :173.6  
##  (Other)   :7

reg1 = lm(precocasas ~ renda, dad1) 
summary(reg1)

## 
## Call:
## lm(formula = precocasas ~ renda, data = dad1)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -17.181  -5.772  -1.864   8.338  17.418 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  -21.148     26.395  -0.801     0.44    
## renda          2.005      0.333   6.022 8.65e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 11.18 on 11 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7672, Adjusted R-squared:  0.7461 
## F-statistic: 36.26 on 1 and 11 DF,  p-value: 8.653e-05

Logo a equação estimada foi: \(\hat{y}=-21.148 + 2.005x\).

2. Calcule \(r^2\). Você se sentiria à vontade em usar essa equação de regressão estimada para estimar o preço típico de uma moradia em uma cidade?
Resposta

Vamos aos cálculos.

summary(reg1)$r.squared

## [1] 0.7672458

Portanto, \(r^2 = 0.7672\). Sim, pois o modelo explica razoavelmente bem a variabilidade dos dados.

3. Estime o preço típico de uma moradia em uma cidade que tem a renda familiar típica de US$ 95 mil.
Resposta

predict(reg1,newdata=data.frame(renda=95))

##        1 
## 169.3463

\(\hat{y} = -21.148 + 2.005*95 = 169.346\)

2. Estimate the linear regression relating the influence of hen weights(x) on feed intake (y) in a year. The data are in the following link: http://nbcgib.uesc.br/lec/download/R/dados/bio_kaps_ex7.1_7.txt
1. Test the null hypothesis that regression does not exist.
Resposta

dad2 = read.table("http://nbcgib.uesc.br/lec/download/R/dados/bio_kaps_ex7.1_7.txt",h=T)
summary(dad2)

##        x               y        
##  Min.   :2.200   Min.   :43.00  
##  1st Qu.:2.325   1st Qu.:46.00  
##  Median :2.450   Median :46.00  
##  Mean   :2.470   Mean   :46.60  
##  3rd Qu.:2.600   3rd Qu.:47.75  
##  Max.   :2.800   Max.   :50.00

reg2 = lm(y ~ x, dad2)
summary(reg2)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = dad2)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.1429 -0.7500  0.2143  0.7857  1.7143 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)   25.429      6.031   4.216  0.00293 **
## x              8.571      2.436   3.519  0.00786 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.336 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6075, Adjusted R-squared:  0.5585 
## F-statistic: 12.38 on 1 and 8 DF,  p-value: 0.007856

pvalor = summary(reg2)$coefficient[2,4]
pvalor

## [1] 0.007856347

The p-value is 0.00786. If we consider \(\alpha=0.01\), then we rejected the H0 hypothesis.

2. Construct a confidence interval of the regression coefficient.
Resposta

confint(reg2)[2,]

##     2.5 %    97.5 % 
##  2.954708 14.188149

The confidence interval of 95% is \((2.9547; 14.1882)\).

3. Compute the coefficient of determination.
Resposta

summary(reg2)$r.squared

## [1] 0.6075353

The coefficient of determination was \(r^2 = 0.6075\).

4. Explain the results.
Resposta

The equation explain reasonably well the variability of data. The increase in one unit in hen weights, increase on average in 8.571 the feed intake.

3. Foi realizado um estudo para estabelecer uma equação mediante a qual se possa utilizar a concentração de estrógeno na saliva (x) para predizer a concentração do estrógeno em plasma livre (y). Foram extraídos os seguintes dados de 14 homens sadios:

x	y
1.4	30.0
7.5	25.0
8.5	31.5
9.0	27.5
9.0	39.5
11.0	38.0
13.0	43.0
14.0	49.0
14.5	55.0
16.0	48.5
17.0	51.0
18.0	64.5
20.0	63.0
23.0	68.0

1. Estude a possível relação entre x e y e ajuste uma regressão.
Resposta

Vamos verificar primeiramente por meio do gráfico de dispersão a relação entre x e y.

plot(x,y)



O comportamento é linear. Logo, é possível ajustarmos uma regressão linear simples. Segue o ajuste.

sumxy = sum(x*y)
sumxsumy = sum(x)*sum(y)
sumx = sum(x)

sumx2 = sum(x^2)
b = (sumxy - sumxsumy/14)/(sumx2 - (sumx)^2/14)

a = mean(y) - b*mean(x)

reg = lm(y ~ x)
coef(reg)

## (Intercept)           x 
##   15.852502    2.262589

A equação ajustada foi \(\hat{y} = 15,853 + 2,263x\).

2. A equação ajusta explica a variabilidade dos dados:
Resposta

Para responder tal questão iremos calcular o coeficiente de determinação (\(r^2\)).

SQerro = sum(residuals(reg)^2)
SQtotal= sum((y - mean(y))^2)
r2 = 1 - SQerro/SQtotal
r2

## [1] 0.8356105

#ou

summary(reg)$r.squared

## [1] 0.8356105

3. Faça um teste de hipótese para \(\beta_1\) e verifique se relação entre x e y não ocorreu por mero acaso.
Resposta

Segue os cálculos manual e por meio do R.

rSQx = sqrt(sum((x - mean(x))^2))

sb = sqrt(SQerro/12)/rSQx

b = coef(reg)[2]

t = b/sb

pt(-t,12)*2

##            x 
## 4.804248e-06

#ou

summary(reg)[[4]][2,4]

## [1] 4.804248e-06

4. Faça uma análise de resíduo
Resposta

Segue os cálculos para verificarmos a normalidade dos erros e a homocedasticidade.

erro = residuals(reg)

# 1 passo: ordenar a variável
errood = sort(erro)

# 2 passo: 
probt = (1:14 - 0.5)/14

# 3 passo:
quantt = qnorm(probt)

# 4 passo: fazer um gráfico do quantil observado vs teorico

plot(errood ~ quantt)

# 5 passo: vamos determinar a linha de referência.

num = diff(quantile(errood, 
              prob=c(0.25, 0.75)))

deno = diff(qnorm(c(0.25,0.75)))

bl = num/deno
bl

##     75% 
## 4.76779

al = quantile(errood,
              prob=c(0.25,0.75))-bl*qnorm(c(0.25,0.75))
al

##        25%        75% 
## -0.2787505 -0.2787505

plot(errood ~ quantt)
abline(al,bl)



Podemos verificar que os pontos estão próximos da linha de referência, o que indica normalidade dos erros. Abaixo segue o gráfico para verificarmos a homocedasticidade.

plot(erro ~ x)
abline(h=0)



Verificamos também que não há nenhuma tendência nos erros e que os mesmos estão dipersos ao longo do eixo x. Isto indica homocedasticidade.