Testes de hipóteses para média: variância conhecida e desconhecida

Exercícios

1. As declarações do imposto de renda individuais entregues antes do dia 31 de março obtiveram uma média de restituição de R$ 1056,00. Considere a população de declarantes ¿de última hora¿ que entregam suas declarações durante os cinco últimos dias do período de entrega das declarações do imposto de renda.
1. Um pesquisador sugere que uma razão para que as pessoas esperem até os cinco últimos dias é que em média essas pessoas têm menores restituições a receber do que aquelas que entregam as declarações primeiro. Desenvolva as hipóteses apropriadas de tal forma que a rejeição de \(H_0\) sustente a argumentação do pesquisador.
Resposta

O pesquisador acredita que as pessoas recebem em média menos restituição. Logo, sabemos que a hiótese do pesquisador é a \(H_a\). Logo, tem-se:

\[ H_0: \mu \ge 1056\\ H_a: \mu < 1056 \]
2. Para uma amostra de \(400\) indivíduos que entregaram suas declarações nos últimos cinco dias, a média amostral de restituição foi de R$ 910,00. Baseando-se na experiência anterior, pode-se supor um desvio padrão populacional \(\sigma=R\$1600,00\). Qual é o p-valor?
Resposta

Utilizando o R tem-se:

parametro = 1056
n = 400
xbarra = 910
sigma = 1600
erropad = sigma/sqrt(n)
zcalc = (xbarra - parametro)/erropad
pvalor = pnorm(zcalc)
pvalor

## [1] 0.03400051

Logo, os dados rejeita \(H_0\) e caso esteja errado, tal erro seria de 0.0340005.

3. Com \(\alpha=0,05\), qual é a sua conclusão?
Resposta
Como os dados evidenciaram um probabilidade de erro menor do que aquele proposto pelo pesquisador, então rejeita-se \(H_0\) com 95% de confiança.
2. A Reis, Inc., uma firma de pesquisa imobiliária de Nova York, acompanha o custo do aluguel de apartamentos nos Estados Unidos. Em meados de \(2002\), o índice médio de aluguel por apartamento em todo o território nacional era de US$ 895 por mês. Suponha que, baseando-se em pesquisas trimestrais históricas, seja razoável considerar-se um desvio padrão populacional \(\sigma=US\$225\). Em um estudo recente dos índices de aluguel de apartamentos, uma amostra de \(180\) apartamentos de todo o país produziu uma média amostral de US$ 915 por mês. Os dados amostrais possibilitam à Reis concluir que o índice médio populacional de aluguel de apartamentos agora ultrapasse o nível relatado em \(2002\)? Considere um nível de significância de 1%.
Resposta

Formulando as Hipóteses tem-se:

\[ H_0: \mu \le 895\\ H_a: \mu > 895 \]

Fazendo os cálculos tem-se:

parametro = 895
sigma = 225
n = 180
xbarra = 915
erropad = sigma/sqrt(n)
zcalc = (xbarra - parametro)/erropad
pvalor = pnorm(zcalc, lower.tail=F)
pvalor

## [1] 0.116519

Como o erro envidenciado pelos dados (0.116519) foi maior do que aquele proposto pelos pesquisadores (0,01) não rejeita-se \(H_0\), ou seja, os dados não sustentam a argumentação de que o preço médio de alugel naquele momento não ultrapassam os de 2002.

3. A CNN e a ActMedia criaram um canal de televisão destinado a pessoas que esperam nas filas do caixa de supermercados. O canal apresentava notícias, entrevistas breves e anúncios. A duração do programa baseava-se na suposição de que o tempo médio que a população de compradores permanece em uma fila de supermercado é igual a 8 minutos. Uma amostra de 120 compradores apresentou uma média amostral de tempo de espera de \(8,5\) minutos. Suponha um desvio padrão populacional \(\sigma=3,2\) minutos. Os dados sustentam a evidência de que o tempo real de espera difere do padrão de 8 minutos? Considere o nível de significância de 5%.
Resposta

Formulando as Hipóteses tem-se:

\[ H_0: \mu = 8\\ H_a: \mu \neq 8 \]

Fazendo os cálculos tem-se:

parametro = 8
sigma = 3.2
n = 120
xbarra = 8.5
erropad = sigma/sqrt(n)
zcalc = (xbarra - parametro)/erropad
pvalor = pnorm(zcalc, lower.tail=F) * 2#Atenção!! é bilateral
pvalor

## [1] 0.08696432

Como o erro envidenciado pelos dados (0.0869643) foi maior do que aquele proposto pelos pesquisadores (0,05) não rejeita-se \(H_0\).

4. O artigo ¿Uncertainty estimation in railway track life-cycle cost¿ apresentou os seguintes dados sobre o tempo de reparo (min) de uma quebra de trilho em uma curva de determinada ferrovia.

159

120

480

149

270

547

340

43

228

202

240

218

Há evidências que levam à conclusão de que o tempo médio de reparo real exceda 200 min? Realize um teste de hipóteses apropriado utilizando um nível de significância de 0,05.

Resposta

Formulando as Hipóteses tem-se:

\[ H_0: \mu \le 200\\ H_a: \mu > 200 \]

Fazendo os cálculos tem-se:

\[ \bar{x} = 249,67 S = 145,149 S_{\bar{x}} = \frac{145,149}{\sqrt{12}} = 41,90 t_{calc} = \frac{249,67 - 200}{41,90} = 1,185 pvalor = 0,1304 \]

Como o p-valor é maior do que alfa, não rejeita-se \(H_0\), ou seja, com 95% de confiança podemos afirmar que não há evidências para que o tempo médio de reparo real não exceda 200 min.

Utilizando o R tem-se:

tempo = c(159,120,480,149,270,547,340,43,228,202,240,218) 
t.test(tempo,mu=200,alternative='greater')

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  tempo
## t = 1.1853, df = 11, p-value = 0.1304
## alternative hypothesis: true mean is greater than 200
## 95 percent confidence interval:
##  174.4174      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##  249.6667

5. Uma amostra de 12 detectores de radônio de um determinado tipo foi selecionada, e cada um foi exposto a 100 pCi/L de radônio. As leituras resultantes foram as seguintes:

105.6

90.9

91.2

96.9

96.5

91.3

100.1

105

99.6

107.7

103.3

92.4

Esses dados sugerem que a leitura média da população sob essas condições é diferente de 100? Determine e teste a hipótese apropriada, usando \(\alpha=0,05\).

Resposta

Formulando as Hipóteses tem-se:

\[ H_0: \mu = 100\\ H_a: \mu \neq 100 \]

Fazendo os cálculos tem-se:

\[ \bar{x} = 98,375 S = 6,109 S_{\bar{x}} = \frac{6,109}{\sqrt{12}} = 1,764 t_{calc} = \frac{98,375 - 100}{1,764} = -0,9212 pvalor = 0,3767 \]

Como o p-valor é maior do que alfa, não rejeita-se \(H_0\), ou seja, com 95% de confiança podemos afirmar que não há evidências para que a leitura média da população seja diferente de 100.

Utilizando o R tem-se:

rad = c(105.6, 90.9, 91.2, 96.9, 96.5, 91.3, 100.1, 105, 99.6, 107.7, 103.3, 92.4) 
t.test(rad,mu=100)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  rad
## t = -0.92138, df = 11, p-value = 0.3766
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 100
## 95 percent confidence interval:
##   94.49322 102.25678
## sample estimates:
## mean of x 
##    98.375