Testes de hipóteses para proporção

Exercícios

1. Uma estação de rádio de Ilhéus anunciou que pelo menos 90% dos hotéis e motéis estariam lotados no fim de semana do show do Pablito do arrocha. A estação aconselhou os ouvintes a fazerem reservas antecipadamente, caso planejassem passar o fim de semana na praia. No sábado à noite, uma amostra de 58 hotéis e motéis revelou que 49 exibiam o anúncio "sem vagas" e 9 "com vagas". Qual é a sua reação à afirmação da estação de rádio depois de ver a evidência da amostra? Use \(\alpha=0,05\) ao realizar o teste estatístico. Qual é o p-valor?
Resposta

A rádio afirma que pelo menos 90% dos hotéis e motéis estariam lotados no fim de semana. Então, as hipóteses a serem testadas são:

\[ H_0: \pi \ge 0,90 \\ H_a: \pi < 0,90 \]

O levantamento no sábado estimou em 84,48%(\(p=49/58=0,8448\)) a proporção de hotéis e motéis fechados. Logo, vamos verificar a probabilidade da amostra sustentar a argumentação da hipótese nula.

p = 49/58
errop = sqrt(0.90*0.10/58)#erro padrão de p
p0 = 0.90#valor hipotético
z = (p - p0)/errop
z

## [1] -1.400602

pvalor = pnorm(z)
pvalor

## [1] 0.08066657

Utilizando a função pronto disponível no site temos:

z_test(x=49/58,pi0=0.90,n=58,alternative="less")

## $zcalculado
## [1] -1.400602
## 
## $zteorico
## [1] -1.644854
## 
## $pvalor
## [1] 0.08066657
## 
## $estimate
## [1] 0.8448276
## 
## $standard.error
## [1] 0.03939193
## 
## $null.value
## [1] 0.9
## 
## $alternative
## [1] "less"
## 
## $conclusao
## [1] "Não rejeita-se H0"

Portanto,como o p-valor foi maior do que \(\alpha\), não rejeita-se \(H_0\).

2. Um fabricante de baterias de níquel hidrogênio seleciona aleatoriamente 100 placas de níquel para testar as células, fazendo-se passar certa quantidade de vezes por ciclos de carga e descarga e determina que 14 placas foram cobertas de bolhas.
1. Isso fornece uma forte evidência de que mais de 10% das placas formam bolhas sob tais circunstâncias? Expresse e teste as hipóteses apropriadas usando um nível de significância de 0,05. Ao chegar à conclusão, que tipo de erro você pode ter cometido?
Resposta

Percebam que a pergunta configura a hipótese alternativa. Logo temos as seguintes hipóteses:

\[ H_0: \pi \le 0,10 \\ H_a: \pi > 0,10 \]

Utilizando diretamente a função z_test tem-se:

z_test(x=14/100,pi0=0.1,n=100,alternative='greater')

## $zcalculado
## [1] 1.333333
## 
## $zteorico
## [1] 1.644854
## 
## $pvalor
## [1] 0.09121122
## 
## $estimate
## [1] 0.14
## 
## $standard.error
## [1] 0.03
## 
## $null.value
## [1] 0.1
## 
## $alternative
## [1] "greater"
## 
## $conclusao
## [1] "Não rejeita-se H0"

Neste caso, poderemos estar cometendo o erro do tipo II, ou seja, não rejeitar \(H_0\) quando ela é falsa.
2. Se for realmente o caso de 15% das placas formarem bolhas sob essas circunstâncias e se for usado um tamanho de amostra de 100, qual é a probabilidade de a hipótese nula do item (a) não ser rejeitada ao nível de 5% de significância?
Resposta

Neste caso, percebam que uma nova amostra de tamanho 100 evidenciou que 15% das placas formaram bolhas. Então, nosso estimador \(p=0,15\).

z_test(x=0.15,pi0=0.1,n=100,alternative='greater') 

## $zcalculado
## [1] 1.666667
## 
## $zteorico
## [1] 1.644854
## 
## $pvalor
## [1] 0.04779035
## 
## $estimate
## [1] 0.15
## 
## $standard.error
## [1] 0.03
## 
## $null.value
## [1] 0.1
## 
## $alternative
## [1] "greater"
## 
## $conclusao
## [1] "Rejeita-se H0"

A probabilidade é de 4,78%.

3. Com fontes domésticas de materiais de construção diminuindo há alguns anos, aproximadamente 60000 casas foram construídas com drywall chinesa. De acordo com o artigo "Report links chineses drywall to home problems", investigadores federais identificaram uma forte associação entre os produtos químicos do drywall e problemas elétricos, havendo também fortes evidências de dificuldades respiratórias devido à emissão de gás sulfídrico. Uma análise extensa com 51 casas descobriu que 41 apresentavam tais problemas. Suponha que essas 51 casas tenham sido amostradas de forma aleatória entre todas as casas que possuam drywall chinesa. Os dados fornecem fortes evidências para concluir que mais de 50% das casas com drywall chinesa possuem problemas elétricos/ambientais? Realize um teste de hipóteses usando \(\alpha=0,01\).
Resposta

Elaborando as hipóteses tem-se:

\[ H_0: \pi \le 0,50 \\ H_a: \pi > 0,50 \]

Aplicando o teste de hipótese tem-se:

z_test(x=41/51,pi0=0.50,n=51,alternative='greater',conf.level=0.99)

## $zcalculado
## [1] 4.340868
## 
## $zteorico
## [1] 2.326348
## 
## $pvalor
## [1] 7.09604e-06
## 
## $estimate
## [1] 0.8039216
## 
## $standard.error
## [1] 0.070014
## 
## $null.value
## [1] 0.5
## 
## $alternative
## [1] "greater"
## 
## $conclusao
## [1] "Rejeita-se H0"

Portanto, os dados fornecem forte evidências contra a hipótese nula com 99% de confiança.

4. Os cientistas acreditam que os robôs terão papel crucial nas fábricas, nas próximas décadas. Suponha que, em um experimento para determinar se o uso de robôs para fazer cabos de computador é viável, um robô tenha sido usado para montar 500 cabos. Os cabos foram examinadose havia 15 com defeito. Se os montadores humanos têm um índice de falha de 0,035 (3,5%), esses dados sustentam a hipótese de que a proporção de defeituosos é menor para os robôs do que para o humanos? Use um nível de significância de 0,01.
Resposta

Elaborando as hipóteses tem-se:

\[ H_0: \pi \ge 0,035 \\ H_a: \pi < 0,035 \]

Aplicando o teste tem-se:

z_test(x=15/500,pi0=0.035,n=500,alternative='less',conf.level=0.99)

## $zcalculado
## [1] -0.6083553
## 
## $zteorico
## [1] -2.326348
## 
## $pvalor
## [1] 0.2714759
## 
## $estimate
## [1] 0.03
## 
## $standard.error
## [1] 0.008218881
## 
## $null.value
## [1] 0.035
## 
## $alternative
## [1] "less"
## 
## $conclusao
## [1] "Não rejeita-se H0"

Portanto, podemos afirmar com 99% de confiança que não há evidências para afirmarmos que o índice de falha dos robôs seja menor do que a dos humanos.